Toán vui

[pththao]

Bài toán sau khá đơn giản mình học được từ G. Polya trong cuốn "Toán học và các suy luận có lý". Mặc dù đơn giản, bài toán đó từng đặt ra cho một nhà toán học. Tác giả G. Polya phân tích cách suy nghĩ của nhà toán học đó và chỉ ra một vài điểm liên quan đến cách mà một người giải toán suy nghĩ. Mình thấy cũng rất có ích cho các bạn học sinh học toán, post lên đây để mọi người cùng xem:
"Trên một bàn tròn hai người chơi trò đặt đồng xu: mỗi người lần lượt đặt một đồng xu xuống bàn sao cho không có hai đồng xu nào chồng lên nhau. Câu hỏi: có tồn tại một cách chơi nào để một trong hai người luôn thắng hay không?"

 

[Mr Zek]

Cho em hỏi ng thắng là ng ntn ạh? Anh thông cảm, em hơi dốt toán

 

[pththao]

Ừ quên, xin lỗi...
Người thắng là người đặt đồng xu cuối cùng lên bàn...

 

[Nguyễn Duy Hưng]

Có thuật toán làm đc với mặt bàn có tâm đối xứng (tròn, chữ nhật, vuông ...) còn có hình bất định thì hên xui.
Phải giành quyền đi trước, đặt đồng xu của mình sao cho tâm của đồng xu trùng với tâm đối xứng của mặt bàn. Sau đó, đặt các đồng xu tiếp theo ở vị trí đối xứng qua tâm với vị trí của mà ng kia đặt.

 

[Nguyễn Ngọc Lương]

Những bài toán dạng như thế này thuộc loại toán Game Theory. Các bạn học chuyên Toán cấp I gặp rất nhiều những bài dạng này (nhặt sỏi, nhặt diêm, sắp hình...v.v). Nhưng ở tầm cao hơn người ta đã phát triển thành một lý thuyết ứng dụng được trong Kinh tế học. Bộ phim Beautiful Mind mô tả nhà toán học John Nash, người đã đưa ra được một lý thuyết về cách tìm ra cân bằng có lợi cho tất cả người chơi (cụ thể trong phim đó lấy hình tượng minh họa là 4 cô gái và 4 chàng trai gặp nhau; nếu anh nào cũng chọn cô đẹp nhất thì rốt cục sẽ chả anh nào có được cô nào; nhưng nếu không ai chọn cô đẹp nhất thì mỗi người sẽ tìm cho mình được 1 cô gái ).

 

[Mr Zek]

Có thuật toán làm đc với mặt bàn có tâm đối xứng (tròn, chữ nhật, vuông ...) còn có hình bất định thì hên xui.
Phải giành quyền đi trước, đặt đồng xu của mình sao cho tâm của đồng xu trùng với tâm đối xứng của mặt bàn. Sau đó, đặt các đồng xu tiếp theo ở vị trí đối xứng qua tâm với vị trí của mà ng kia đặt.

Anh ui, vậy thì vẫn phải dựa vào đc đi trc hay ko chứ, thế thì đâu phải là luôn thắng nếu ng đó đi sau. Em thấy cách này có vấn đề ở chỗ đó. Em cũng ko nghĩ ra cách nào cả, anh thử xem lại xem

 

[pththao]

Có thuật toán làm đc với mặt bàn có tâm đối xứng (tròn, chữ nhật, vuông ...) còn có hình bất định thì hên xui.
Phải giành quyền đi trước, đặt đồng xu của mình sao cho tâm của đồng xu trùng với tâm đối xứng của mặt bàn. Sau đó, đặt các đồng xu tiếp theo ở vị trí đối xứng qua tâm với vị trí của mà ng kia đặt.

Exactly!

Anh ui, vậy thì vẫn phải dựa vào đc đi trc hay ko chứ, thế thì đâu phải là luôn thắng nếu ng đó đi sau. Em thấy cách này có vấn đề ở chỗ đó. Em cũng ko nghĩ ra cách nào cả, anh thử xem lại xem

Bài toán chỉ hỏi một trong hai người, một cách hiển nhiên là phải phân biệt hai người bằng người đi trước và người đi sau, nếu không làm sao có thể có được một thuật toán sao cho một trong hai người luôn thắng Giả sử A luôn thắng và có thể đi trước hoặc sau, vậy B và A giống nhau, B cũng luôn thắng => hai người luôn thắng ???
Như bác Duy Hưng nói đây là dạng toán rời rạc, có rất nhiều dạng nhỏ khác nhau và phát triển thành một ngành riêng.

Đây là phân tích của tác giả, tôi viết lại theo cách hiểu của mình để mọi người tham khảo
Khi được hỏi, nhà toán học đó bắt đầu bằng giả thiết cái bàn rất nhỏ chỉ bỏ vừa một đồng xu. Như vậy người đi trước luôn thắng nếu đi trước. Như vậy nếu tồn tại một thuật toán thì thuật toán đó phải sao cho người đi trước luôn thắng. Như vậy thao tác đầu tiên là đặc biệt hóa. Dựa trên việc đặc biệt hóa đó ta đã có thể nhìn được "nghiệm" có thể của bài toán!
Đến đây ta đã đi gần đến lời giải...
Nếu tưởng tượng bàn dần mở rộng chứa vừa 2 đồng xu. Hỏi người đi trước đi thế nào để thắng? Câu trả lời là đặt sao cho người đi sau không đặt xuống vừa hai đồng xu và ta thấy là nên đặt vào gần tâm bàn.
Như vậy giải thuật đã được nhìn thấy qua việc chuyển qua giới hạn.
Tiếp đó chỉ việc chứng minh cho trường hợp tổng quát cho một bàn lớn và việc này không mấy khó khăn.
Cuối cùng phân tích cách giải cho thấy điều kiện đối xứng tâm của bàn là cốt yếu
Đấy là các thao tác mà một người giải toán lành mạnh thường thực hiện khi làm toán.

Có thể lấy ra rất nhiều ví dụ để mô tả các thao tác đó khi giải một bài toán của mọi người...
Tôi thấy một trong những sai lầm thường gặp khi giải toán là coi thường bước đặc biệt hóa, trong khi đó là một bước rất quan trọng trong quá trình giải.

 

[Lờicủagió]

Dạ không có Bổ nát óc thì cũng không nghĩ ra, đầu óc dạo này bị lú